The origin of the different customs when to begin saying Selichot
תשובת רבינו האי גאון
ומנהגינו לומר תחנונים בהנך עשרה ימים לחוד. ושמענו דבמקצת מקומות פרס מר"ח אלול, ואמרי דביה סליק משה להר בפעם ג', ונחית בלוחות שניות ביה"כ, וכל המוסיף לבקש רחמים זכות הוא לו
ספר המנהיג הלכות ראש השנה עמוד שכט
מנהג כל ישראל להשכים ולומר תחנונים מר"ה ועד כיפור שהם ימי רחמים כדאמרינן בר"ה, "דרשו ה' בהמצאו", אמתי? בי' ימים שבין ר"ה ליה"כ. ויש מקומות בספרד שמתחילין מר"ח אלול
נוהגים לקום באשמורת לומר סליחות ותחנונים מראש חדש אלול ואילך עד יום הכפורים: הגה ומנהג בני אשכנז אינו כן אלא מראש חודש ואילך מתחילין לתקוע אחר התפלה שחרית ויש מקומות שתוקעין ג"כ ערבית ועומדים באשמורת לומר סליחות ביום א' שלפני ר"ה ואם חל ר"ה ב' וג' אז מתחילין מיום א' שבוע שלפניו (מנהגים)...
We have the custom to get up at the break of dawn to recite Selichot and tachanunim from Rosh Chodesh Elul until Yom Kippur. (Rema: The minhag of Ashkenazi Jews is not like that. Instead from Rosh Chodesh on we blow the Shofar after Shacharith, and there are some places where they also blow the Shofar after Arvit. We get up at dawn to recite Selichot from the Sunday before Rosh HaShanah on; and if Rosh HaShanah falls on a Monday or Tuesday, we begin reciting Selichot from Sunday the week before Rosh HaShanah... There are places where the person who leads Selichot leads all of that day's prayers (Kol Bo).
(ו) מיום ראשון שבוע שלפניו - משום שהרבה נוהגים להתענות עשרה ימים עם יוה"כ ולעולם יחסרו ד' ימים מר"ה עד יוה"כ שלא יוכלו להתענות דהיינו ב' ימים ר"ה ושבת שובה ועיו"כ לכך צריך להשלים ד' ימים קודם ר"ה, וכדי שיהיה יום מסויים להתחלה, תקנו יום ראשון בכל פעם... הש"ץ מתעטף בטלית בשעה שאומרים י"ג מדות אף שהוא קודם אור היום אבל אז אינו מברך עליו...
(ד) לומר סליחות - ואף יחיד יוכל לומר אותם שאין בהם י"ג מדות. ובסליחה שנזכר י"ג מדות ידלג אותן תיבות. וכן אותם הבקשות שהן בלשון תרגום כגון מחי ומסי וכו' ומרן די בשמיא וכו' לא יאמר כשאין שם מנין עשרה [א"ר]. כשמתחילין סליחות אומרים או"א חוץ מסליחה המתחלת בשם אחד משמותיו של הקב"ה...
The core texts of the Selichot are from the Geonic Period
אֵל מֶלֶךְ יוֹשֵׁב עַל כִּסֵּא רַחֲמִים מִתְנַהֵג בַּחֲסִידוּת, מוֹחֵל עֲוֹנוֹת עַמּוֹ מַעֲבִיר רִאשׁוֹן רִאשׁוֹן, מַרְבֶּה מְחִילָה לְחַטָּאִים וּסְלִיחָה לַפּוֹשְׁעִים, עֹשֶׂה צְדָקוֹת עִם כָּל בָּשָׂר וָרוּחַ, לֹא כְרָעָתָם תִּגְמוֹל, אֵל הוֹרֵיתָ לָּנוּ לוֹמַר שְׁלֹשׁ עֶשְׂרֵה, וּזְכָר לָנוּ הַיּוֹם בְּרִית שְׁלשׁ עֶשְׂרֵה, כְּהוֹדַעְתָּ לֶעָנָיו מִקֶּדֶם, כְּמוֹ שֶׁכָּתוּב וַיֵּרֶד ה' בֶּעָנָן וַיִּתְיַצֵּב עִמּוֹ שָׁם, וַיִּקְרָא בְשֵׁם ה':
מֶ֗לֶךְ יוֹשֵׁ֥ב עַל־כִּסֵּא־דִ֑ין
The king seated on the throne of judgment
רַבִּי יְהוּדָה בְּרַבִּי נַחְמָן פָּתַח (תהלים מז, ו): עָלָה אֱלֹקִים בִּתְרוּעָה ה' בְּקוֹל שׁוֹפָר, בְּשָׁעָה שֶׁהַקָּדוֹשׁ בָּרוּךְ הוּא יוֹשֵׁב וְעוֹלֶה עַל כִּסֵּא דִּין, בַּדִּין הוּא עוֹלֶה, מַאי טַעַם, עָלָה אֱלֹקִים בִּתְרוּעָה, וּבְשָׁעָה שֶׁיִּשְׂרָאֵל נוֹטְלִין אֶת שׁוֹפְרֵיהֶן וְתוֹקְעִין לִפְנֵי הַקָּדוֹשׁ בָּרוּךְ הוּא, עוֹמֵד מִכִּסֵּא הַדִּין וְיוֹשֵׁב בְּכִסֵּא רַחֲמִים, דִּכְתִיב: ה' בְּקוֹל שׁוֹפָר, וּמִתְמַלֵּא עֲלֵיהֶם רַחֲמִים וּמְרַחֵם עֲלֵיהֶם וְהוֹפֵךְ עֲלֵיהֶם מִדַּת הַדִּין לְרַחֲמִים, אֵימָתַי בַּחֹדֶשׁ הַשְּׁבִיעִי.
מירקין: אלקים הוא מדת הדין, ה' הוא מדת הרחמים. "בתרועה" במובן "שבר", הקב"ה עולה כדי להעניש ולשבור. "בדין הוא עולה", כדי לעשות דין הוא עולה.
תרע ᴵᴵ to break, to split. [Aram. (= Syr.) תְּרַע (= he broke through, burst, broke forth)]
גמ' מעביר ראשון ראשון. נראה לי פרוש כפל לשון ראשון דר"ל מכל מין חטא מעביר הראשון כגון אם יש בידו גזל ועריות וחילול שבת מכל אחד מעביר הראשון ואינו נכנס בחשבון
(ו) עֹשֵׂ֣ה צְדָק֣וֹת ה' וּ֝מִשְׁפָּטִ֗ים לְכׇל־עֲשׁוּקִֽים׃
and judgments for all who are wronged.
(יז) וַאֲנִ֗י הִנְנִי֩ מֵבִ֨יא אֶת־הַמַּבּ֥וּל מַ֙יִם֙ עַל־הָאָ֔רֶץ לְשַׁחֵ֣ת כׇּל־בָּשָׂ֗ר אֲשֶׁר־בּוֹ֙ ר֣וּחַ חַיִּ֔ים מִתַּ֖חַת הַשָּׁמָ֑יִם כֹּ֥ל אֲשֶׁר־בָּאָ֖רֶץ יִגְוָֽע׃
(ג) וְהָאִ֥ישׁ מֹשֶׁ֖ה עָנָ֣ו מְאֹ֑ד מִכֹּל֙ הָֽאָדָ֔ם אֲשֶׁ֖ר עַל־פְּנֵ֥י הָאֲדָמָֽה׃ {ס}
(3) Now Moses himself was very humble, more so than any other human being on earth.
אבן עזרא על שמות לד:ו׳
יטעו כל האומרים "שחל ענו פניך מקדם"...
ולפי דעתי שהשם שני פעמים, כקורא, להודיע משה איך יקרא בעת הצורך כטעם "אברהם אברהם", "יעקב יעקב"
וַיִּקְרָ֨א אֵלָ֜יו מַלְאַ֤ךְ ה' מִן־הַשָּׁמַ֔יִם וַיֹּ֖אמֶר אַבְרָהָ֣ם ׀ אַבְרָהָ֑ם וַיֹּ֖אמֶר הִנֵּֽנִי׃
Then a messenger of ה' called to him from heaven: “Abraham! Abraham!” And he answered, “Here I am.”
Ibn Ezra makes two very interesting remarks:
1) he was aware of an alternative version of אֵל מֶלֶךְ יוֹשֵׁב that did not have the familiar כְּהוֹדַעְתָּ לֶעָנָיו מִקֶּדֶם but rather: "שחל (=חִלָּה?) ענו פניך מקדם", suggesting that it was not God but Moshe who stated the 13 midot (in-line with the understanding of Targum Ps. Jonathan). Ibn Ezra doesn't like this version!
2) The double invocation of the Name of God is not the beginning of the midot, but rather suggests to Moshe how he should address God in the future, as calling a name twice is the common Biblical way of calling out a person
Based on the gemara in Rosh Hashanah, Rashi and Rabenu Tam interpret the Names of God rather as one or even two midot:
ה' ה' - מדת רחמים אני מרחם קודם שיחטא, ואני מרחם אחר שיחטא אם ישוב:
שלש עשרה מדות. אומר רבינו תם דשני שמות הראשונים הם שני מדות. כדאמרינן הכא אני ה' קודם שיחטא לרחם עליו, ואני מרחם לאחר שיחטא אם ישוב... איתא ביומא (דף לו: ושם) דעונות אלו זדונות פשעים אלו המרדים וחטאות אלו השגגות
An alternative version of Eel Melech Yosheiv
אֵל אֶרֶךְ אַפַּיִם אַתָּה וּבַעַל הָרַחֲמִים נִקְרֵאתָ. וְדֶרֶךְ תְּשׁוּבָה הוֹרֵיתָ. גְּדֻלַּת רַחֲמֶיךָ וַחֲסָדֶיךָ תִּזְכֹּר הַיּוֹם וּבְכָל יוֹם לְזֶרַע יְדִידֶיךָ. תֵּפֶן אֵלֵינוּ בְּרַחֲמִים כִּי אַתָּה הוּא בַּעַל הָרַחֲמִים. בְּתַחֲנוּן וּבִתְפִלָּה פָּנֶיךָ נְקַדֵּם. כְּהוֹדַעְתָּ לֶעָנָיו מִקֶּדֶם. מֵחֲרוֹן אַפְּךָ שׁוּב כְּמוֹ בְּתוֹרָתְךָ כָּתוּב. וּבְצֵל כְּנָפֶיךָ נֶחֱסֶה וְנִתְלוֹנָן כְּיוֹם וַיֵּרֶד ה' בֶּעָנָן. תַּעֲבֹר עַל פֶּשַׁע וְתִמְחֶה אָשָׁם. כְּיוֹם וַיִּתְיַצֵּב עִמּוֹ שָׁם. תַּאֲזִין שַׁוְעָתֵנוּ וְתַקְשִׁיב מֶנּוּ מַאֲמַר. כְּיוֹם וַיִּקְרָא בְשֵׁם ה' וְשָׁם נֶאֱמַר:
The Sefaradi Opening Selicha [פתיחה]
בֶּן אָדָם, מַה לְּךָ נִרְדָּם, קוּם קְרָא בְּתַחֲנוּנִים. שְׁפֹךְ שִׂיחָה, דְּרֹשׁ סְלִיחָה, מֵאֲדוֹן הָאֲדוֹנִים. רְחַץ וּטְהַר, וְאַל תְּאַחַר, בְּטֶרֶם יָמִים פּוֹנִים. וּמְהֵרָה, רוּץ לְעֶזְרָה, לִפְנֵי שׁוֹכֵן מְעוֹנִים. וּמִפֶּשַׁע, וְגַם רֶשַׁע, בְּרַח וּפְחַד מֵאֲסוֹנִים. אָנָּא שְׁעֵה, שִׁמְךָ יוֹדְעֵי, יִשְׂרָאֵל נֶאֱמָנִים. לְךָ אדושם הַצְּדָקָה. וְלָנוּ בֹּשֶׁת הַפָּנִים: עֲמֹד כְּגֶבֶר, וְהִתְגַּבֵּר, לְהִתְוַדּוֹת עַל חֲטָאִים. יָהּ אֵל דְּרֹשׁ, בְּכֹבֶד רֹאשׁ, לְכַפֵּר עַל פְּשָׁעִים. כִּי לְעוֹלָם, לֹא נֶעְלָם, מִמֶּנּוּ נִפְלָאִים. וְכָל מַאֲמָר, אֲשֶׁר יֵאָמַר, לְפָנָיו הֵם נִקְרָאִים. הַמְּרַחֵם, הוּא יְרַחֵם, עָלֵינוּ כְּרַחֵם אָב עַל בָּנִים:
וַיֹּ֖אמֶר אֵלָ֑י בֶּן־אָדָם֙ עֲמֹ֣ד עַל־רַגְלֶ֔יךָ וַאֲדַבֵּ֖ר אֹתָֽךְ׃
וַיִּקְרַ֤ב אֵלָיו֙ רַ֣ב הַחֹבֵ֔ל וַיֹּ֥אמֶר ל֖וֹ מַה־לְּךָ֣ נִרְדָּ֑ם ק֚וּם קְרָ֣א אֶל־אֱלֹקֶ֔יךָ אוּלַ֞י יִתְעַשֵּׁ֧ת הָאֱלֹקִ֛ים לָ֖נוּ וְלֹ֥א נֹאבֵֽד׃
תְּ֭פִלָּה לְעָנִ֣י כִֽי־יַעֲטֹ֑ף וְלִפְנֵ֥י ה' יִשְׁפֹּ֥ךְ שִׂיחֽוֹ׃
(ד) וָֽאֶתְפַּֽלְלָ֛ה לַה' אֱלֹקַ֖י וָאֶתְוַדֶּ֑ה וָאֹֽמְרָ֗ה אָנָּ֤א אדושם הָאֵ֤ל הַגָּדוֹל֙ וְהַנּוֹרָ֔א שֹׁמֵ֤ר הַבְּרִית֙ וְֽהַחֶ֔סֶד לְאֹהֲבָ֖יו וּלְשֹׁמְרֵ֥י מִצְוֺתָֽיו׃ (ה) חָטָ֥אנוּ וְעָוִ֖ינוּ הִרְשַׁ֣עְנוּ וּמָרָ֑דְנוּ וְס֥וֹר מִמִּצְוֺתֶ֖ךָ וּמִמִּשְׁפָּטֶֽיךָ׃ (ו) וְלֹ֤א שָׁמַ֙עְנוּ֙ אֶל־עֲבָדֶ֣יךָ הַנְּבִיאִ֔ים אֲשֶׁ֤ר דִּבְּרוּ֙ בְּשִׁמְךָ֔ אֶל־מְלָכֵ֥ינוּ שָׂרֵ֖ינוּ וַאֲבֹתֵ֑ינוּ וְאֶ֖ל כׇּל־עַ֥ם הָאָֽרֶץ׃ (ז) לְךָ֤ אדושם הַצְּדָקָ֔ה וְלָ֛נוּ בֹּ֥שֶׁת הַפָּנִ֖ים כַּיּ֣וֹם הַזֶּ֑ה
(4) I prayed to the LORD my God, making confession thus: “O Lord, great and awesome God, who stays faithful to His covenant with those who love Him and keep His commandments! (5) We have sinned; we have gone astray; we have acted wickedly; we have been rebellious and have deviated from Your commandments and Your rules, (6) and have not obeyed Your servants the prophets who spoke in Your name to our kings, our officers, our fathers, and all the people of the land. (7) With You, O Lord, is the right, and the shame is on us to this very day
(א) אֵין עוֹמְדִין לְהִתְפַּלֵּל אֶלָּא מִתּוֹךְ כֹּבֶד רֹאשׁ
(1) One may only stand and begin to pray from an approach of gravity and submission
כְּרַחֵ֣ם אָ֭ב עַל־בָּנִ֑ים רִחַ֥ם ה' עַל־יְרֵאָֽיו׃
As a father has compassion for his children, so the LORD has compassion for those who fear Him.
The final Ashkenazi Selicha of Ne'ila [by Rabenu Gershom]