Hilchot Tefilla - Shabbat Mincha

1. The background of saying Pirke Avot

תשובות רב נטרונאי גאון - ברודי (אופק) אורח חיים סימן פז
והכי אמר רב נטרונאי גאון, שמותר להתעסק (בשבת) בתלמוד, ומנהג בית רבינו שבבבל שאחר תפלת מנחה בשבת שונין אבות וקנין תורה. ועוד, רגילים ישראל שתפלת מנחה בשבת מקדימין אותה, ותפלת ערבית מאחרין אותה... ובין תפלה לתפלה ישב וידום, מכל מקום להתעסק בתורה טפי עדיף. וזה שאין עוסקין לא מפני שאסור, אלא מפני כבוד משה רבינו ע"ה שנפטר באותה שעה, לקיים: (מו"ק כב סע"ב) "נשיא שמת, כל בתי מדרשות בטלין".

שולחן ערוך, יורה דעה שמ״ד:י״ח

חכם שמת בית מדרשו בטל שסופדין אותו כל שבעה אבל שאר מדרשות עוסקין בתורה אפי' בשעת הספד ואחר ההספד אין תלמידיו מתקבצים בבית מדרשו אלא מתחברים שנים שנים ולומדים בבתיהם. אב בית דין שמת כל מדרשות שבעיר בטלין והרגילין להתפלל בב"ה משנים מקומם. נשיא שמת כל בתי מדרשות שבכל מקום שמספידין אותו בטלים ואחר ההספד אין נכנסים לבית המדרש אלא מתחברי' שנים שנים ולומדין בבתיה' וכל בני העיר מתפללים בבית האבל בין בחול בין בשבת חוץ מקריאת התורה בשבת ושני וחמישי שקורין בב"ה ולא יטיילו בשוק אלא יושבים משפחות משפחות ודָוים כל היום:

Shulchan Arukh, Yoreh De'ah 344:18

When a Hakam dies, his Academy is in recess, for they make a lamentation for him throughout the seven [days of mourning]; but [all] the other Academies engage in [the study of] the Torah, even during the time that the lamentation is held; and after the lamentation his disciples do not assemble in his Academy, but join in pairs and study at their homes. When an Ab Beth Din dies, all the Academies of the city are in recess, and those who are in the habit of saying their prayers [the Tefillah] in the Synagogue, change their [customary] places. When a Nasi dies, all Academies, wherever a lamentation is made for him, are in recess; and after the lamentation, they do not enter the Academy, but join in pairs and study at their homes, and all the townspeople say their prayers [the Tefillah] in the house of mourning, both on a weekday and on the Sabbath save the reading of [the weekly portions] of the Torah on the Sabbath, the second and the fifth [days of the week] which they read in the Synagogue. And they should not walk about in the street, but they sit [at home] in family groups and feel the affliction all day.

Pirke Avot clearly has a connection with Moshe Rabeinu

משנה אבות א׳:א׳

(א) משֶׁה קִבֵּל תּוֹרָה מִסִּינַי...

Pirkei Avot 1:1

(1) Moses received the Torah at Sinai and transmitted it to Joshua, Joshua to the elders, and the elders to the prophets, and the prophets to the Men of the Great Assembly. They said three things: Be patient in [the administration of] justice, raise many disciples and make a fence round the Torah.

ספר הישר לרבינו תם (חלק התשובות) סימן מה
מנהג הוא לזכרון פטירתו... שקורין מס' אבות וגומרין אותן חמשה פרקים כל מנחת שבת

Alternative Minhag in the Provence

אורחות חיים חלק א דין סדר תפלת מנחה של שבת אות ח
נהגו בהרבה מקומות לומר בין מנחה לערבית האלפא בית מתמניא פסוקים (תהילים קי״ט) והמעלות ואחר עונין קדיש יהא שלמא רבא וכו' ...טעם המעלות לפי שהן נאמרות על לשון בני הגלות וזכר בהם צרת הגלות וזכר בהם ג"כ תוחלת הישועה

2. The background of Tsidkatecha

אבודרהם, סדר תפילות השבת, מנחה ח׳

והטעם שנהגו לומר צדקתך כתב מר שר שלום כי צדוק דין הוא על שמת משה רבינו ע"ה בשבת במנחה... והקשו עליו כי נראה כי מת בערב שבת דאמרינן בסדר עולם... אלא יש אומרים שנהגו לאומרם כמו צדוק הדין על פושעים שעתידין לחזור לדינם אחר השלמת הסדר מצדיקין את הדין על דינם החוזר כדאמרינן בב"ר מלאך הממונה על הרוחות מכריז בערב שבת ואומר צאו פושעים מגהינם ונוחו כדרך שישראל שובתין. ובמוצאי שבת מכריז ואומ' חזרו פושעים לגהינם שכבר השלימו ישראל את סדריהם... כיון שהתפללו מנחה והוא ערב דואגים על הלילה הבאה שעתידים לחזור לדינם ולפי' מצדיקין עליהם את הדין במנחה.

Abudarham, Shabbat Prayers, Afternoon Service 8

...

אבודרהם, סדר תפילות השבת, מנחה ט׳

וכתבו הגאונים כל יום שאומרין בו הלל אין אומרים במנחה צדקתך לפי שההלל הוא על השמחה, וצדקתך הוא לשון צער שהוא כמו צדוק הדין.

Abudarham, Shabbat Prayers, Afternoon Service 9

...

3. The background of Uva Letsiyon

תשובות רב נטרונאי גאון - ברודי (אופק) אורח חיים סימן לט
לרב נטרונאי. ששאלתם וקרא זה אל זה ואמר (יש' ו, ג) ותשאני רוח (יח' ג, יב) - מה טעם יש שם לקרות ולתרגם, ומה טעם קבעו אותם חכמים בסדר קדושה.
כך מנהג ראשונים, מקום שיש שם תלמידי חכמים כשהיו מתפללין ונופלין על פניהם ומקדשין, לאחר שעונין אמן יהא שמיה וכו' מביאין נביא וקורין בו כעשרה פסוקים, הן חסר הן יתר, ומתרגמין אותן, ואחר כך אומרים וקרא זה אל זה ואמר ומתרגמין כשם שתרגמו אותה פרשה של נביא, ואומרין ותשאני רוח ומתרגמין אותו, כדי לסיים בשבחו של הקדוש ברוך הוא. ואחר כך מקדשין ועוסקין בתורה - הרוצה במשנה עוסק, הרוצה בתלמוד עוסק - כדי לקיים מה שאמרו חכמים (קידושין ל ע"א, ע"ז יט רע"ב) "לעולם ישלש אדם שנותיו: שליש במקרא שליש במשנה שליש בתלמוד". וכיון שרבתה עניות ודלות והוצרכו תלמידים להתפרנס ממעשה ידיהם ולא היו יכולים לעסוק בתורה תמיד ולהשליש בכל יום, נסמכו על התלמוד בלבד ועזבו מקרא ומשנה, וסמכו על מה שאמרו: "כל הנחלים הולכים אל הים" (קה' א, ז) מקרא משנה ומדרש, ועקרו לקרות בנביא בכל יום אחר תפלה. ואף על פי שעקרו לקרות בנביא, אותן שני פסוקים לא עקרו אותם ועדיין קבועים ועומדים, ומפני מה לא עקרום, שקדוש משולש הוא, קדוש קדוש קדוש (יש' ו, ג), ושלשוהו ג' פעמים בתפילה.

ספר שבלי הלקט ענין תפילה סימן מד
מצאתי בשם רבינו שלמה זצ"ל מנהג הראשונים היה לשהות שעה אחת לאחר תפלתם כדתנן חסידים הראשונים היו שוהין שעה אחת וכו' על זה הוסיפו לומר אשרי יושבי ביתך כלומר השוהין בביתך... ובשבת ויום טוב... אין אנו אומרין ובא לציון גואל בשחרית בשבת וביום טוב שהרי כבר קראו בנביא. ואעפ"כ אומרין אותו במנחה שלא ישתכח בימות החול ומנהג אבות תורה הוא. עוד הוסיפו לומר ואתה קדוש יושב תהלות לפי שהקב"ה משהה שכינתו בתוכינו לשמוע תהלות ישראל

ספר שבלי הלקט ענין שבת סימן קכו
נהגו לומר קודם תפלת המנחה פסוקים של נחמה "אם תשיב משבת רגליך", "אז תתענג", "מה נאוו", "גילי מאד", "הנני שולח מלאכי" וכו' כסדר הכתוב בסדורים. והטעם פי' אחי ר' בנימין נר"ו לפי מה שדרשו רבותינו ז"ל אלמלי שומרין ישראל שתי שבתות כהלכתן מיד נגאלין שנאמר כה אמר ה' לסריסים אשר ישמרו את שבתותי וגו'. וכתיב והביאותים אל הר קדשי. ומצינו באגדה שתחילת הגאולה תהיה בשבת בשעת תפלת המנחה על כן נהגו לומר אלו הפסוקים של נחמה

Could there be a connection with the minhag of saying a Haftarah of Nechemta at Shabbat Mincha, and/or a connection with the saying of Uva Letsiyon Go'eel at the beginning of Shabbat Mincha?

4. Halacha

שולחן ערוך, אורח חיים רצ״ב:א׳

דין תפלת מנחה בשבת ובו ב סעיפים:
במנחה [אומרים אשרי ובא לציון ואני תפלתי וגו'] (טור) מוציאין ספר תורה וקורין שלשה אנשים עשרה פסוקים מפרשה הבאה ואפי' חל יו"ט להיות בשבת קוראין בפרשה הבאה ולא בשל יום טוב:

Shulchan Arukh, Orach Chayim 292:1

1. The Laws Governing the Shabbos Afternoon Service, 2 Seifim: During Minchah [we say אשרי and ובא לציון and ואני תפלתי, etc] (Tur) we take out one Torah and read three aliyot totaling 10 verses from the next week's parshah. And even when Yom Tov falls on Shabbat we read the next week's parshah and not the one for Yom Tov.

משנה ברורה רצ״ב:א׳

(א) אומרים אשרי ובא לציון וכו' - ומפסיקין בקדיש קודם ואני תפלתי. ואמירת ובא לציון במנחה הוא במקום סדר קדושה דחול ובשבת שמאריכין הרבה בשחרית ומוסף הניחוה עד מנחה [כל בו]:

Mishnah Berurah 292:1

...

משנה ברורה רצ״ב:ד׳

(ד) ג' אנשים וכו' - במנחה א"א קדיש על הבימה לעולם [היינו בין בשבת בין בתענית] רק לפני העמוד קודם תפלת י"ח וקאי נמי אס"ת דאי יאמרו מיד על הבימה א"כ לפני העמוד לא יאמרו קדיש כי אין במה להפסיק בין הקדישים [יהללו פסוק אחד לא הוי הפסק ואף שאומרים מזמור לה' הארץ אין זה מעיקר הדין] ולעולם ראוי להסמיך הקדיש לתפלת י"ח משא"כ בשחרית יש הפסק באמירת אשרי בינתים ולפ"ז כשאין ס"ת בשבת במנחה לא יאמרו רק פ"א קדיש אחר אשרי ובא לציון ופסוק ואני תפלתי יאמרו אז קודם הקדיש כדי שלא יהא הפסק בין קדיש להתפלה [א"ר וש"א]:

Mishnah Berurah 292:4

...

שולחן ערוך, אורח חיים רצ״ב:ב׳

אומרים צדקתך ואם חל בו יום שאלו היה חול לא היו אומרים בו במנחה נפילת אפים אין אומרים צדקתך: הגה ונהגו שלא לקבוע מדרש בין מנחה למעריב (טור זוהר תרומה ע' רע"ט) אבל אומרים פרקי אבות בקיץ ושיר המעלות בחורף וכל מקום לפי מנהגו:

Shulchan Arukh, Orach Chayim 292:2

2. We say צדקתך. And if (Shabbat) falls at a time where, if it were a weekday, we would not say Tachanun at Minchah time, we do not say צדקתך. RAMA: And our custom is not to establish a study session between the Afternoon Service and the Evening Service (Tur; Zohar Terumah 279), but we say Pirkei Avot in the Summer, and שיר המעלות in the winter, each place according to its own custom.

משנה ברורה רצ״ב:ו׳

(ו) צדקתך - דמתו בו יוסף משה ודוד ולכן נהגו שלא לקבוע אז מדרש כי חכם שמת כל המדרשות בטלים וב"ח האריך להוכיח שלא מת משה בשבת רק בע"ש ולא נגנז עד שבת במנחה בשעתא דעת רצון וכמ"ש בזוהר ואנו אומרים צדוק הדין עליו בזמן שנגנז וי"מ דאומרים צדקתך להצדיק הדין על הרשעים שחוזרין לגיהנם במו"ש:

Mishnah Berurah 292:6

...

משנה ברורה רצ״ב:ט׳

(ט) בין מנחה למעריב - היינו כשהוא סמוך לחשיכה ולכן המנהג לדרוש קודם מנחה ואם נמשכה הדרשה עד סמוך לחשיכה אזי לא יאמרו פרקים או שיר המעלות כדי שיוכלו לקיים סעודה ג' בזמנה [מ"א] ובא"ר איתא בשם מלבושי יו"ט שראה לרבו מהר"ל מפראג כמה פעמים שדרש בין מנחה למעריב. וע"כ נראה דבזמנינו אין למנוע זה כידוע שמצוי בעו"ה באיזה מקומות שעוסקין אז כמה אנשים בבהמ"ד בשיחה בטלה ובודאי טוב יותר לשמוע אז דברי מוסר כדי שלא יבואו לזה:

Mishnah Berurah 292:9

...